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I) L’ensemble N


Les entiers naturels sont les entiers positifs. Par exemple, 0, 1, 2 et 5676 sont des entiers naturels
 Par contre -45 n'en est pas un
Cet ensemble N est noté comme nature

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Arithmétique dans R


On dit que ces entiers sont naturels car ce sont ceux que l'on utilise naturellement dans la vie de tous les jours

Il existe une infinité d'entiers naturels

{notations : N={0 ; 1 ; 2 ; ... ; n 

(N*= \{0} ( privé de 0

Remarque : La soustraction et la division ne sont pas toujours possibles dans , en effet 

  • Si a appartient N et b appartient N alors (a-b) appartient N seulement si a supérieur b

  • Si a appartient N et b appartient N * alors a/b appartient N seulement si a est un multiple de b

II) Diviseurs et multiples d’un nombre entier naturel 


1) La division Euclidienne 

a) Exemples : 

Compléter :17 = 5 x 3 + 2 et 658 = 13 x ... + ... 

b) Propriété :

Quel que soit l’entier naturel a et quel que soit l’entier naturel non nul b, 

Il existe deux entiers naturels uniques q et r tels que : a = bq + r avec r > q 

Cette opération est appelée, la division Euclidienne de l’entier naturel a par l’entier naturel b l’entier q est le quotient et l’entier r est le reste de la division Euclidienne de a par b

c) Application :

Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne du nombre 12357 par 113 

Quels sont les restes possibles de la division euclidienne d’un nombre donné par 7 ? 

Quels sont les restes possibles de la division euclidienne d’un nombre donné par 7 ? 

Quels sont les restes possibles de la division euclidienne d’un nombre donné par 2

2)Définition :

Soit a appartient IN, b appartient IN* : on dit que b est un diviseur de a s’il existe un entier naturel k tel que a = k x b 

On dit aussi que a est un multiple de b ou que b est un diviseur de a. 

remarque : tout nombre entier naturel non nul a admet au moins deux diviseurs, 1 et a. 

exp : 12 = 4 x 3 = 1 x 12 = 6 x 2

4, 3, 1, 12, 6 et 2 sont des diviseurs de 12

par contre 5 n’est pas un diviseur de 12 car 12/ 5 n'appartient pas IN 

3)Critères de divisibilité

Un nombre est divisible 

par 2 si le nombre se termine par un chiffre pair : 0, 2, 4, 6, 8 

par 3 si la somme des chiffres du nombres est divisible par 3

par 5 si le nombre se termine par 0 ou 5

par 9 si la somme des chiffres du nombre est divisible par 9 

III)Les nombres pairs et impairs 


Activité : Ecris ces nombres sous la forme 2x ... ou (2x ...) +1 les nombres suivants : 68 ;69; 86 ; 87 ; 92; 93

Solutions : 68 = 2 x 34 69 = (2 x 34) + 1 86 = 2 x 43 87 = (2 x 43) + 1 92 = 2 x 46 93 = (2 x 46) + 1

Règle 1 : Les nombres pairs sont terminés par 0, 2, 4, 6, 8 Les nombres impairs sont terminés par 1, 3, 5, 7, 9 

Règle 2 : un nombre pair peut s’écrire 2x ...

un nombre impairs peut s’écrire 2x ...+1 

définition1 :on dit qu’un nombre pair s’il est un multiple de 2 ou s’il existe un entier naturel k tel que n = 2.k

Exemple : 6 = 2 x 3 k =3 donc 6 est nombre pair

Définition2 :on dit qu’un nombre impair s’il existe un entier naturel k tel que n = 2.k+1 

Exemple : 11 = 2 x 5+1 k =5 donc 11 est nombre impair 

Exercice : Montrer que la somme de deux nombres de même parité est un nombre pair

Exercice : Montrer que la produit de Deux nombres consécutifs est un nombre pair

IV) .NOMBRES PREMIERS


a) Définition Un nombre entier naturel est dit premier s’il admet exactement deux diviseurs : 1 et lui-même

exemples : 7 est un nombre premier car les seuls diviseurs de 7 sont 7 et 1. 

4 n’est pas premier car il est divisible par 2. 

12 n’est pas premier et 5 est premier 

Les nombres premiers inférieurs ou égaux à 100 sont : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31 ; 37 ; 41 ; 43 ; 47 ; 53 ; 59 ; 61 ; 67 ; 71 ; 73 ; 79 ; 83 ; 89 ; 97.

Remarques:

1 n’est pas premier car il n’a qu’un seul diviseur : 1 

2 est le seul nombre premier pair Il y a une infinité de nombre 
premier





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